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程序员面试题精选100题(43)-n个骰子的点数[算法]

时间:2014-11-28 17:37来源:www.chengxuyuans.com 点击:
题目:把n个骰子扔在地上,所有骰子朝上一面的点数之和为S。输入n,打印出S的所有可能的值出现的概率。
分析:玩过麻将的都知道,骰子一共6个面,每个面上都有一个点数,对应的数字是1到 6之间的一个数字。所以,n个骰子的点数和的最小值为n,最大值为6n。因此,一个直观的思路就是定义一个长度为6n-n的数组,和为S的点数出现的次数保存到数组第S-n个元素里。另外,我们还知道n个骰子的所有点数的排列数6^n。一旦我们统计出每一点数出现的次数之后,因此只要把每一点数出现的次数除以n^6,就得到了对应的概率。
该思路的关键就是统计每一点数出现的次数。要求出n个骰子的点数和,我们可以先把n个骰子分为两堆:第一堆只有一个,另一个有n-1个。单独的那一个有可能出现从1到6的点数。我们需要计算从1到6的每一种点数和剩下的n-1个骰子来计算点数和。接下来把剩下的n-1个骰子还是分成两堆,第一堆只有一个,第二堆有n-2个。我们把上一轮那个单独骰子的点数和这一轮单独骰子的点数相加,再和剩下的n-2个骰子来计算点数和。分析到这里,我们不难发现,这是一种递归的思路。递归结束的条件就是最后只剩下一个骰子了。
基于这种思路,我们可以写出如下代码:
int g_maxValue = 6;
 
void PrintSumProbabilityOfDices_1(int number)
{
    if(number < 1)
        return;
 
    int maxSum = number * g_maxValue;
    int* pProbabilities = new int[maxSum - number + 1];
    for(int i = number; i <= maxSum; ++i)
        pProbabilities[i - number] = 0;
 
    SumProbabilityOfDices(number, pProbabilities);
 
    int total = pow((float)g_maxValue, number);
    for(int i = number; i <= maxSum; ++i)
    {
        float ratio = (float)pProbabilities[i - number] / total;
        printf("%d: %f\n", i, ratio);
    }
 
    delete[] pProbabilities;
}
 
void SumProbabilityOfDices(int number, int* pProbabilities)
{
    for(int i = 1; i <= g_maxValue; ++i)
        SumProbabilityOfDices(number, number, i, 0, pProbabilities);
}
 
void SumProbabilityOfDices(int original, int current, int value, int tempSum, int* pProbabilities)
{
    if(current == 1)
    {
        int sum = value + tempSum;
        pProbabilities[sum - original]++;
    }
    else
    {
        for(int i = 1; i <= g_maxValue; ++i)
        {
            int sum = value + tempSum;
            SumProbabilityOfDices(original, current - 1, i, sum, pProbabilities);
        }
    }

上述算法当number比较小的时候表现很优异。但由于该算法基于递归,它有很多计算是重复的,从而导致当number变大时性能让人不能接受。关于递归算法的性能讨论,详见本博客系列的第16题。
我们可以考虑换一种思路来解决这个问题。我们可以考虑用两个数组来存储骰子点数每一总数出现的次数。在一次循环中,第一个数组中的第n个数字表示骰子和为n出现的次数。那么在下一循环中,我们加上一个新的骰子。那么此时和为n的骰子出现的次数,应该等于上一次循环中骰子点数和为n-1、n-2、n-3、n-4、n-5与n-6的总和。所以我们把另一个数组的第n个数字设为前一个数组对应的第n-1、n-2、n-3、n-4、n-5与n-6之和。基于这个思路,我们可以写出如下代码:
void PrintSumProbabilityOfDices_2(int number)
{
    double* pProbabilities[2];
    pProbabilities[0] = new double[g_maxValue * number + 1];
    pProbabilities[1] = new double[g_maxValue * number + 1];
    for(int i = 0; i < g_maxValue * number + 1; ++i)
    {
        pProbabilities[0][i] = 0;
        pProbabilities[1][i] = 0;
    }
 
    int flag = 0;
    for (int i = 1; i <= g_maxValue; ++i)
        pProbabilities[flag][i] = 1;
      
    for (int k = 2; k <= number; ++k)
    {
        for (int i = k; i <= g_maxValue * k; ++i)
        {
            pProbabilities[1 - flag][i] = 0;
            for(int j = 1; j <= i && j <= g_maxValue; ++j)                 pProbabilities[1 - flag][i] += pProbabilities[flag][i - j];
        }
 
        flag = 1 - flag;
    }
 
    double total = pow((double)g_maxValue, number);
    for(int i = number; i <= g_maxValue * number; ++i)
    {
        double ratio = pProbabilities[flag][i] / total;
        printf("%d: %f\n", i, ratio);
    }
 
    delete[] pProbabilities[0];
    delete[] pProbabilities[1];
}

    值得提出来的是,上述代码没有在函数里把一个骰子的最大点数硬编码(hard code)为6,而是用一个变量g_maxValue来表示。这样做的好处时,如果某个厂家生产了最大点数为4或者8的骰子,我们只需要在代码中修改一个地方,扩展起来很方便。如果在面试的时候我们能对面试官提起对程序扩展性的考虑,一定能给面试官留下一个很好的印象。

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